微積分に関する話題

1. 実数について

   実数の定義・上限・下限・有界単調数列が収束することの証明など

   また， $$\left(1+\dfra{1}{n}\right)^n$$ が収束することの証明

2. 中間値の定理の証明

   関数の連続性の定義

   連続関数が $f(a)f(b)<0$ を満たすとき，$f(c)=0$ となる $c$ が $a$ と $b$ の間にあることの証明

3. 最大値の原理の証明

   Bolzano-Weierstrass の定理の証明

   連続関数は，閉区間で最大値・最小値をとることの証明

4. はさみうちの原理について

   つねに $f(x)\leqq g(x)\leqq h(x)$ で， $$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A$$ のとき， $$\lim_{x\to a}g(x)=A$$ となることの証明

5. Cauchy の平均値の定理 の証明

6. Leibniz の公式

   $$\left\{f(x)g(x)\right\}^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{}_nC_kf^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$$ の証明

7. 漸近線の傾きと導関数の極限

   漸近線の傾きと $$\lim_{x\to \infty}f^{\prime}(x)$$ の関係

8. 微分可能性と導関数の連続性に関して

9. l'Hospital の定理について

   $\dfrac{0}{0}$ 型， $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型の不定形の極限を計算するときに便利な公式

10. 合成微分の公式の証明

11. Taylor の定理の証明

12. 積分型の Taylor の定理の証明

    部分積分を利用して，Taylor の定理の剰余項を定積分の形で表したもの。

13. 曲線群 $C_t:y=f(x,t)$ の包絡線について

    曲線群 $C_t:y=f(x,t)$ の包絡線についての大雑把な説明。 正確な説明は次を参照。

14. 無限小・偏微分・包絡線などについて

15. 陰関数定理・逆写像定理について

    $f(x,y)=0$，$f(a,b)=0$ のとき，$(a,b)$ の近くで $y=g(x)$ の形に表されるための条件。

16. 定積分について

    Riemann 和と定積分の定義

    連続関数は積分可能であることの証明

17. 微積分学の基本定理

    連続関数の定積分は，原始関数を利用して求められることを示す。

18. 部分分数展開について

    $f(x), g(x)$ を多項式とするとき， $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が部分分数展開できることを示す。

19. 曲線の長さの公式

    曲線の長さの定義と，長さを求める公式の証明。

20. 曲率と曲率半径

    曲線の曲がり具合を表す量としての曲率の定義。

    また，曲線と同程度の曲がり具合の円の半径を曲率半径という。

    曲率，曲率半径の求め方。

21. 法線と曲率円

    $C:y=f(x)$ の $x=a$ における法線 $\ell_a$ と $x=b$ における法線 $\ell_b$ との交点を P とする。

    $b\to a$ とするとき，P は $x=a$ における $C$ の曲率中心に近づくことなどの証明。

22. 項別積分について

    関数列 $\{f_n(x)\}$ について， $$\lim_{n\to \infty}\int_a^bf_n(x)dx=\int_a^b\lim_{n\to \infty}f_n(x)dx$$ となるための条件。

23. 線積分について

    線積分の定義とその応用。

    曲線 $C:\left\{\begin{array}{l} x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}\right.\hspace{.5em}(\alpha\leqq t\leqq \beta)$ で囲まれた図形の面積は $$\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}\left\vert\rule{0em}{2ex}x(t)y'(t)-x'(t)y(t)\right\vert dt$$ で得られる。

24. 積分と微分の関係

    $$\int_a^xf(t,x)dt$$ を $x$ で微分した結果の大雑把な説明。正確な証明は次を参照。

25. パラメータを含む積分

    積分記号下での微分について。